PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE

BİNOM AÇILIMI

            SAYMANIN TEMEL KURALLARI

Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı

s(A) + s(B)= m+ n’ dir.

O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )

Çözüm : 5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.

Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a₁, a₂, a₃, ....., a_n ile gösterilen n tane nesne için ( a₁ , a₂ )’ ye sıralı ikili, ( a₁ , a₂ , a₃ )’e sıralı üçlü ... ( a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n )’e sıralı n’li denir. Sıralı ikililerin kümesini A₂ , Sıralı üçlülerin kümesini A₃ , Sıralı dörtlülerin kümesini A₄ .... şeklinde gösterelim.

A₁ , A₂ , A₃ , ... , A_r kümelerinin elemanlarının sayısı n₁ , n₂ , n₃ , ... , n_r olsun. Bu durumda s ( A₁.A₂.A₃... A_r )= s(A₁ ). s(A₂ ). s(A₃ )... s(A_r ) = n₁.n₂.n₃ ... n_r olur.

Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.

Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )

Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.

FAKTÖRİYEL

Tanım: 1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyle” denir ve n! Şeklinde gösterilir.

1.2.3.....n = n!

0!=1

1!=1

2!=1.2 = 2

3!=1.2.3.= 6

4!=1.2.3.4 = 24

Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!

Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!

9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.

Örnek: 15! / 13! =?

Çözüm :15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.

15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.

Örnek: n! / (n - 2 )! =?

Çözüm :n ve n - 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! olur.

n! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ) bulunur.

Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.

Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?

Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.

Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.

 Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.

1. (n-2)!(n+1)! / n!. (n - 1)!

2. n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!

3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! /n! (n-3)! (n+2)!

Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.

1. Kaç farklı şekilde dizilebilir?
2. Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
3. Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
4. Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
5. Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm :

     a.  Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla,... bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yanyana dizilişi 8.7.6. 5. 4. 3. 2. .1= 8! yolla belirlenebilir.

2. Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yanyana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yanyana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.

3. Fizik kitapları yanyana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yanyana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.

4. 8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B’yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yanyana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.

     e.  1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ....., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.

PERMÜTASYON :

Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’ lilerine A kümesinin r’ li permütasyonları denir.

n elemanlı A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P (n,r) = n! / (n-r)! formülü ile bulunur.

Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3’ ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?

Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;

P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir.

Uyarı :

                           i.                                           i.                                            i.           n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı,

Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!’ dir.

ii. n elemanlı bir kümenin 1’ li permütasyonlarının sayısı, P (n,1) = n’dir.

iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak, çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz.

Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.

1. Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
2. Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
3. Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm :

1. 8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.
2. Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.
3. Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.

Dönel (dairesel) sıralama :

Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.

Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.

1. Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
2. Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
3. Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm :

1. 7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.
2. Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
3. Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.

Tekrarlı permütasyonlar :

Tanım : n tane nesnenin n₁ tanesi 1. çeşitten, n₂ tanesi 2. çeşitten, ......., n_r tanesi de r. çeşitten olsun.

n= n₁+ n₂+ ........... + n_r olmak üzere bu n tane nesnenin n’li permütasyonlarının sayısı,

(n₁ ,n₂ , ^..., n_r ) = n! / n₁!.n₂!...n_r ‘ dir.

Örnek: “ BABACAN” sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n₁ = 2

3 tane A harfi olduğu için n₂ = 3,

1 tane C harfi olduğu için n₃ = 1 ve bir tane N harfi olduğu için

n₄ = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı,

(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 ‘ dir.

KOMBİNASYON

Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir.

n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı, K(n,r), C(n,r), C ⁿ_r ya da

( ⁿ_r ) ile gösterilir. Burada C (n,r) veya ( ⁿ_r ) gösterimleri kullanılacaktır.

n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı,

C(n,r) =( ⁿ_r ) = n! / r! . (n-r)! formülü ile bulunur.

UYARI : Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur.

1. ( ⁿ_x ) = ( ⁿ_y ) ise x = y veya x + y = n olur.
2. ( ⁿ₀ ) = 1
3. ( ⁿ₁ ) = n
4. ( ⁿ_n ) = 1

Örnek: Ali ve Veli’nin de aralarında bulunduğu 6 kişi arasından, aralarında Ali’nin bulunduğu ve Veli’nin bulunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm : Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve diğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağlanır. Buna göre, Veli seçme dışıdır. Ali’ yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarda bırakacağımız için seçmeye katılacak 6 - 2 = 4 kişi kalır. Bu 4 kişi arasından 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur.

C (4,3) = 4! / (4-3)!. 3! = 4.3.2.1 / 1.3.2.1 = 4’ tür.

                        BİNOM AÇILIMI

x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla

(x+y) ⁿ = C (n,0) xⁿ + C (n,1) x^n-1y+C (n,2) x^n-2y²+........ .......+C (n,r)x^n-ry^r+.....+C (n,n)yⁿ

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.

Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...............................(x+y)0

1 1 ...........................(x+y)1

1 2 1 ......................(x+y)2

1 3 3 1 ...................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4

Sonuçlar :

1. Açılımda n+1 tane terim vardır.
2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) x^n-r y^r’ de terimi oluşturan x^n-r çarpanı ile y^r çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.
3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2ⁿ

olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 ⁿ olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.

4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,

C(n,r) x^n-r y^r ‘dir.

5. (x+y) ²ⁿ açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xⁿyⁿ ‘dir.