Modelleme

¹Dr. Yük. Müh. Ahmet Hamdi Orhan                                                   ²Merve Orhan                                        

Özet

Modelleme bir düşünce sistemini bir takım somut ve soyut rakamlar yazım şekilleri ile ifade edilir.Bu şekil ve kavramlar esas alınarak yeni durumların daha da iyileştirilmesi ile geleceğe yönelik simge ve şekiller meydana gelir.Düşünce sisteminde benzerliklerin sınıflandırmalarla ve farklılıkların da sınıflandırılması daha da iyileştirilmesi konularına vesile olur.

Düşüncenin belli vasıtalarla sembolleştirilmesi onun daha da örgün hale gelmesini bilginin gerek kişinin kendi kullanımı için ve gerekse başkalarına  gelecek nesillere aktarılması için bir bakıma kolaylaştırma sağlanması demek olmaktadır. Düşüncelerini bu şekilde özetleyebilen kişiler ve kurumlar bilgi üretimine ve gelecekteki refaha daha emin bir şekilde erişebilirler.Binlerce yıl önce insanların yaşayışlarında insanların hayatlarında günümüzdeki gibi sayı,yazı ve cihazların yanında bazı kolaylıklarda mevcut değildi.Ama insanoğlunda geleceğe ait daha pratik,daha etkili,daha rasyonel davranışlar insanda hakimdi.İnsanoğlunun düşüncesinde meydana gelen değişiklikler devamlı ilerlemeye ve daha iyiye yakınlaşma arzusu her zaman canlılığını devam ettirmiştir.Özellikle insanın koruma dürtüsü beslenme dürtüsü ve barınma dürtüsü insan düşüncesinin hayatı kolaylaştırıcı cihaz,alet ve edevat üretmiştir.İnsan idraki geliştikçe insanın kendini,etrafını tanıması gittikçe kolaylaşmıştır.Bir şeyi modellemenin en büyük özelliği modellenen olayın bir önceki adıma göre yararlı,faydalı olması esastır.

Özetle,modelleme bir olaya anlama,anlatma,çözümleme getirmesi halinde bir anlam taşır.Analitik düşünceye yardım eder.Zamanı kısaltır,anlama hinterlandını büyütür ve sorunun çözümünü kolaylaştırır.Modelleme bu mekanizmayı sağladığı sürece anlam taşır.

Key words: modelleme,analitik düşünme,hız,sistem üretmek,rasyonalizm,

 Giriş

Modelleme 3 aşamada düşünülebilir.Birinci aşama girdilerin belli olmaması bir başka anlamda olayın sebeplerinin bilinmemesi ancak sonuçlarının ve tanımlanması noktasında bir modelleme yapılabilir.İkinci aşama,girdilerin ve çıktıların belli olması,tanımlamanın,davranış biçimi sonuçların ışığında sebeplerinin ayrıntılı bir şekilde yorumlanması veya irdelenmesidir.Üçüncü aşama,girdilerin ve tanımlamanın bilinmesi halinde değişik sebepler altında sonuçların ne olabileceği muhtemel senaryoların incelenmesidir.Bu üçüncü hal modelleme için mantıksal çerçeveyi  kolayca oluşturur.Bu üçüncü halin modellemede daha çok kullanılır olması daha fazla öngörü elde edilir olması bu senaryoların seçiminin mümkün hale gelmesi veya incelenebilir olması açısından en efektif yol sebeplerin ve tanımlamanın olması ışığında sonuçlar tahmin edilebilmektedir.Diğer bir ifade ile,sonuçların tahmini eldeki sebepler ve tanımlamalardan yola çıkaraktan ortaya konabilecektir.

Modelleme konusunda ortak hareket edenler ÖNGÖRÜ yapılabilir türden modellemenin ilkelerinden biri olan ,girdisi ile tanımlanması bilinen burada değişik sebepler altında sonuçların ne olabileceği,muhtemel senaryolar incelenebilmektedir.

 Bazen kabullere başvurmadan bir olayın modellenmesi mümkün olmayabilir. Modellemeden amaç ya yapılan gözlem ve ölçümlerin basit ve mekanik bir şekilde açıklanması ile bazı öngörülerde bulunmak veya bir karar verebilmektir.Sistematik bir şekilde bunları yapabilmek için gerçek dünyanın soyut dünyada matematiksel simgelere tercüme edilmesi şeklinde olur.Önce düşünülerek sorunun değişkenleri tanımlanmalı,ve bilahare bunlar arasında olabilecek ilişkiler araştırılmalıdır.Basitleştirilme için yapılan kabuller,değişkenler arası ilişkilerin büyük bir kısmını hatta bazen tamamının matematik modelleme ile izah edilebilir.İncelenen olaylar hakkında düşünceler ve işleyiş ile davranış biçimleri matematiksel simgelerle bazı denklemlere dönüştürülebilir.

Son çözüm bulunduktan sonra akılcı yaklaşımlarla bunların yorumları daha sonrada ölçümlerle öngörü güvenilirliği kontrol edilir. Aşağıda ifade edileceği gibi modelden elde edilecek sonucun yorumlanması soyut matematik dünyasından gerçek dünya ile ilgili sonuçların yapılarak denetlenmesidir.Teorik olarak elde edilen model sonuçlarının gerçek dünyadan doğrudan gözlem ve ölçümlerle elde edilenlerle kıyaslanarak doğruluk derecesi belirlenmelidir.Böyle bir kıyaslamanın sayısal olarak yapılması ilk aşamada bağıl hata kavramının kullanılması önerilir.Şayet,model sonuçları Lm ile ölçüm sonuçlarında Lö ise,bağıl hata β yüzde cinsinden β= 100(Lm-Lö)/Lm olarak hesap edilir.Uygulamada bağıl hatanın %5’ten küçük olması istenir.Şayet,elde birçok ölçüm var ise,bunların her birinin bağıl hatası hesaplanır ve hepsinin %5’ten küçük olması durumunda model sonuçlarının gerçek olayları temsil ettiği sonucuna varılır.Ölçü model ilişkisi diyebileceğimiz bir grafik,şekil 2 ‘de görüleceği gibi iki dik eksen yatay,ölçümleri ifade eder,düşey bu ölçüme tekabül eden modeli gösterir.Böyle bir gösterimde her iki eksenin ölçeği aynı olmalıdır.Bir başka ifade ile ölçüm model ilişkisi,orijinden geçen 45 derecelik bir doğruyu ifade eder.  

Model Tipleri

Matematiksel Modeller:

                          Matematiğin temelinde mantık ve düşünce kuralları geçerlidir.Tam anlamı ile,belirlilik içerecek biçimde fiziksel olamayan olayların dışında bile insanın idealleri ile,sembolik ifadelerden ibarettir.Simgesel ifadeler ve özelliklede fonksiyon denilen matematiksel ifadeler aslında bir matematik modelden başka bir şey değildir.Esas olayın geometrisini ortaya koyarak onu görsel ve cebirsel olarak ifade etmek,matematiksel modelin bir başka ifadesidir.Matematikte soyut olarak öğretilen fonksiyonların tümü birer geometriyi ifade eder.Her matematik fonksiyon bir değişkeni ,diğer değişkenler cinsinden izah etmeye yarar.Çizilen her grafik veyahutta bir eğri veya bir yüzey değişkenler arasındaki ilişkiyi verir.

a)Kapalı Matematik Modeller:

        En basit hali ile bir y değişkeninin bir x değişkeni cinsinden ifade edilmesi y=f(x) fonksiyonu ile ifade edilir.x’e girdi y’ye de çıktı değişkeni gözü ile bakarsak bu simgesel olarak,bir girdi değişkenini çıktı değişkeni haline dnüştürmek anlamına gelir.Burda dönüştürme işlemi f(..) mekanizması ile yapılır.

      Kapalı olan matematik ifadelerin açık hallerinin akılcılıkla ve mantık yürütmekle ortaya çıkarmak her zaman mümkün olamayabilir. Matematik ifadeler toplumsal mühendislik ve fizik olayları temsil edebildikleri ölçüde yararlıdır.

b)Açık Matematik Modeller:

                          Matematikte yazılan her denklemin sözel olarak ne anlama geldiği ifade edilmelidir. Buda matematiğin uygulamadaki önemini daha da arttırır. Matematik denklerin açık olarak sembollerle yazılışı sözel ifadelerle desteklenemez ise modelleme açısından bir anlam ifade etmeyebilir.Açık ifadelerde değişkenler,parametreler ve bağımsız değişkenleri bağımlı değişkene çeviren bir sistem davranışı şeklinin bilinmesi gerekmektedir.Açık matematik modeller birbirine dik ikili veya üçlü eksen takımı göz önüne alınarak yapılır.Şayet x bağımsız y bağımlı değişken olmak üzere birbiri ile ilintili iki tane değişken bulunuyorsa bunları bir ikili değişken sisteminde göstermek uzun yıllardan beri düşünülen bir husustur.Dik eksen takımlarına Rene de Carte tarafından ilk defa ileriye sürüldüğü için Fransızca telaffuzu ile cartezyen eksen takımı şeklinde ifade edilir.Böyle bir modelleme durumu Şekil 5’te gösterilmiştir.

                    Şekilde görüldüğü gibi yatay eksene girdi, dikey eksene ise çıktı adı verilebilir. Bunların her biri 3 bileşenli girdisi sistem davranışı ve çıktısı ile birer matematik modeldir.

Doğrusal Model:

                   Bu modelin özetle tanımı şöyle yapılabilir; iki değişkenden biri artarken biri diğerinin lineer bir şekilde artması ve ifade edilmesi sözel olarak ifade edilebilir. Bağımsız değişken x,bağımlı değişken y olduğunu kabul eder isek, aşağıdaki doğrusal modelin durumunu bize gösterir.

y=ax

Bunun Kartezyen koordinat sisteminde gösterilişi şekil 5’te verilmiştir.Bu şekilden aşağıdaki anlamları çıkartabiliriz.

a)     X aşırı büyür veya küçülürse, y de aşırı büyür veya küçülür.

b)     X değişkeni 0 değerinin alırken, y değişkeni de 0 değerini alır.

c)     X’in ardışık iki değeri arasındaki sabit farka y’nin de iki sabit fark değeri tekabül eder. Bu fark, x ekseninin neresine yerleşirse yerleşsin, y’nin bu farka tekabül eden farkı da hep aynı kalır.

d)     Yatay eksendeki x farkı düşey eksene tekabül eden fark y’dir. Buna kısaca eğrinin değişiminin eğimi adı verilir. Bu doğrunun eğimi de a=y/

Sonuç olarak x ve y değişkenleri birbiri ile doğru orantılı olarak değişir diyebiliriz.Denklemdeki sabite bir parametreyi ifade eder.Parametre değeri değiştikçe x’e tekabül eden  y ler parametre oranında değişir.Şekil 6 ‘daki parametre değeri için y=ax doğru denkleminde a=1 için y=x demektir. a>1,diğeride  a

Modeldeki b parametresi ölçeği ayarlanan değerlerin ötelenmesine yarar.Bu bakımdan b parametresine öteleme parametresi de denir.Diğer taraftan ..eğim olarak tanımlanan a parametresi bu denkleme göre bir dik üçgende  karşı kenarın,komşu kenara oranı olduğundan a=tan yazılabilir.Burada  derece cinsinden doğru modelin eğim açısını gösterir.Araştırmacılar,doğusal modelin birçok konusunda kullanmışlardır.Bunlardan birkaçını sıralayalım.

Örneğin;

 a)     Fizikte kuvvet F ile gösterelim.İvme a ile gösterelim.Bu ikisi arasındaki orantı fizikte sabit kütleyi verir.(m)O halde,Newton tarafından öne sürülen F=m*a şeklindeki hareket kanunu doğrusal bir matematiksel modeldir.Bunun sözel ifadesi kütlenin sabit olması halinde kuvvet,ivme doğru orantılı ve doğrusal değişir mahiyettedir.Sadece doğru orantılıdır.Bu ifadenin ikinci kısmında doğrusal değişim ifadesi mutlaka gereklidir.Bundan başka daha birçok matematik denklemi temsil edebilir.Örneğin,f=m,f=m*a^0,2,F=m*a³ gibi hepsinde kuvvet ile ivme doğru orantılıdır.Ama her birinde kuvvet ivme ile lineer değişmez.

b)     Yer bilimlerinde yer altı suyu hızı ve hidrolik eğim i ile doğru orantılı ve doğrusal değişimlidir.Burada orantı kat sayısı jeolojik tabakanın geçirimlilik (permabilite) katsayısını (k) gösterir.Bunun sembolik ifadesi, v=k*i şeklindedir.Buna da hidrolikte Darcy yasası denir.

c)     Malzeme biliminde gerilimi şekil değiştirmede  ile doğru orantılır.Bu gerilme şekil değiştirmede doğrusal değişir.Burada orantı katsayısına elastisite modülü  (E) denir.Buda Hook kanunu olarak kabul edilir ki,bu matematik doğrusal modelin dışında kalan tüm modeller doğrusal değil yani non lineer’dir.Bu Kartezyen koordinat eksen takımında iki değişken halinde y ile x arasındaki geometrik şekil bir doğru değil eğri olarak kendisini gösterir anlamına gelir.

Polinom Modeller

              Matematikte çokça kullanılan modeller genel olarak x bağımsız ve y bağımlı değişken olmak üzere y=a0+a1x+a2x²+a3x³+anxⁿ şeklinde olan n’inci dereceden polinom adı verilir.Burada ai(i=0,1,2,..,n) polinom katsayılarını gösterir.Böyle bir ifadenin polinom olabilmesi için n’in mutlaka 1’den büyük ve tam sayı olması gerekmektedir.Bu polinomun basit ama pratikte kullanılan en önemli olanı aşağıdaki grafikte ifade edilmiştir.

            İlave olarak bu polinom doğrusal olmayan çeşitli basit modelleri de içerir.Bunlar değişik bilimsel konularda yapılan ölçümlerle elde edilir.Burada matematikte önem kazanan türev ve diferansiyeller üzerinden değil de,bu matematik modellerin şekiller ve bazı önemli özellikleri üzerinde durulması gerekmektedir.Bunun özelliklerinden birisi parabol modelidir.Bu modelin 3 tane parametresi vardır.Bunlar deney ve gözlemlerle ifade edilen x ve y verilerinden en küçük kareler yöntemi vasıtası ile,hesaplanabilir.y=a0+a1x4a2x² doğrusal olmayan basit bir parabol denklemidir.Parabol denklemi yukarıdan farklı olaraktan y=a₂(x-) (x-) şeklindede ifade edilir.Bu yazılımda  ve  değerleri, parabolun y=0 için köklerini gösterir.

          Genel olarak bir polinomun derecesi n ise, bunun grafik gösterilimin de (n-1) tane n büyük veya en küçük noktası vardır.Parabol ikinci dereceden olduğu için bunun bir tane ya en büyük veya en küçük değere ulaştığını gösteren tepe noktası bulunur.İkinci olarak a₂>0 ve  ise, <x< aralığına tekabül eden yerlerin hepsi eksi değerdedir.

    Grafik ve Çizelgeli Dokümanın Tamamı için Tıklayınız...