Nokta Teoremleri

Sabit nokta teoremi

Sabit nokta teoremi, matematikte, bir kümedeki noktaları aynı kümenin başka noktalarına gönderen bir dönüşümün en az bir noktayı değişmeden bırakmasına ilişkin teoremlerin ortak adı. Örneğin; gerçek sayıların karelerini alma biçiminde tanımlanan dönüşümde, O ve 1 sayıları değişmez kalır; her sayıyı 1 artıran bir dönüşümde ise değişmez kalan sayı yoktur. Bu örnekler teorem olarak adlandınlamayacak kadar basit örneklerdir. Cebirsel topolojiden alınan şu örnek ise sabit nokta ilkesinin yüksek düzeyde bir uygulamasıdır: Sürekli dönüşüm, birbirlerine komşu noktaları gene birbirlerine komşu başka noktalara gönderen bir dönüşüm olarak tanımlanır. Brouwer sabit nokta teoremi, bir diski (birim açık daire) kendi içine gönderen her sürekli dönüşümün en azından bir noktayı sabit bırakacağını ifade eder. Bu teorem bir doğru üzerindeki, bir aralıktaki, bir top içindeki ya da topa eşdeğer üçten büyük boyutlu kümelerdeki noktaların dönüşümleri için de geçerlidir.

Sabit nokta teoremlerinden, bir denklemin çözümünün var olup olmadığının belirlenmesinde yararlanılır. Örneğin diferansiyel denklemlerde diferansiyel operatörü olarak adlandırılan dönüşüm bir fonksiyonu bir başka fonksiyona dönüştürür. Bir diferansiyel denklemin çözümünün bulunması, bu dönüşüm altında değişmeden kalan fonksiyonun bulunmasına eşdeğerdir. Bu fonksiyonları noktalar olarak ele alıp bir disk oluşturan noktalar koleksiyonuna benzer biçimde bir fonksiyonlar koleksiyonu tanımlayarak, diferansiyel denklemler için Brouwer sabit nokta teoremine benzer bir teoremi kanıtlamak olanaklıdır. Bir çözümün var olup olmaması (yani bir sabit nokta bulunup bulunmaması), diferansiyel operatörünün ve çözümü aranan fonksiyonlar koleksiyonunun niteliğine bağlıdır.

Banach sabit nokta teoremi

Banach sabit nokta teoremi metrik uzaylar teorisinde kullanılan önemli bir araçtır, belli koşulları sağlayan fonksiyonların sabit noktalarının olduğunu garanti eder, ve bu sabit noktanın konstruktuf şekilde bulunmasını sağlar. Teorem Stefan Banach'ın (1892–1945) adıyla anılır, ve ilk olarak onun tarafından 1922^[1] yılında bulunmuştur.

(X, d) boş olmayan, bir tam metrik uzay olsun. T : X → X, X üzerinde bir büzüşme olsun, yani negatif olmayan öyle bir q < 1 sayısı olsun ki tüm x, y 'ler için

olsun. O zaman T 'nin X'in içinde x^* diye bir sabit noktası (yani T(x^* ) = x^* 'i sağlayan noktası) vardır, ve bu nokta biriciktir.