Arılar ve Çokgenler - Bal Peteği Mimarisi
Bal peteği meydana getirilirken neden farklı geometrik şekiller yerine altıgeni seçmişlerdir? Amaçları yaptıkları peteğin göz alıcı görünmesi mi? Altıgen seçiminin matematiksel bir açıklaması var mı?
Bal üretiminde ilk aşama bal mumunun üretimidir. Bir çok işçi arının grup halinde kenetlenmesi ile belli sıcaklığı değerine ulaşılır ve salgı başlar. İlk salgı beyazken, salgı ve polenlerle renk sarıya doğru döner. Toplu iğnenin başı kadar minik üretilen bal mumları çok fazla enerji tüketimi ile gerçekleşir. Sonuçta 1kg bal mumu üretmek için yaklaşık 22 kg bal tüketilir.
Petek üretimi ise bir sonraki aşamadır. Yamasız görüntü elde edilen petekler bir mühendislik harikasıdır.
Arılar ve Çokgenler Hakkında Araştırma
Arı peteğinin ilginç mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir. Yanyana altıgenlerden oluşan bu yapı son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm’dir. Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.
Daire belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır. Çerçeveyi eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.
Halbuki bu problemi en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.
Akla gelebilecek ilk soru belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içerisine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Şekil 1′degösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniş alanı küçük alanlara bölmek istediğimizde komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek üzere bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 – 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)
ifadesi elde edilir. Bulmak istediğimiz hangi kenar sayısı n için N değeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri sadece n=3 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6′dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez. Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek ya üçgen ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6′dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir çözüm değildir. Şekil 3′te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4). Ayrıca eşit alanlı üçgen dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında en az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.
Matematikçiler ayrıca kenarları doğru olmayan eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999′da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı. 1999′da ispatını ancak yapabildiğimiz bir çözümü arıların milyonlarca yıldır şaşırmadan Sevk-i İlâhî ile uygulamaları Allah’ın ilhâmından başka ne olabilir ki… Şâyet arıların petek inşa teknikleri ilk yaratıldıkları dönemden bu yana evrimleşerek gelseydi fosil kayıtlarında altıgen dışında başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi. Halbuki başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dâir ipucuna rastlanmamıştır. Bizzat Charles Darwin bal peteğini işçilik ve balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır.
Bal peteği üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık diğer kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5). Çerçeve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde prizmalar yatay ile 13O’lik bir eğim açısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964′te matematikçi Fejes Toth en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Şekil 6a). Arılar ise biraz farklı olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035′lik çok küçük bir kayıp olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.
Araştırmacılar Toth’un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına iki tabaka olacak şekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth’un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü. Deney arılara en ideal şeklin ilham edildiğini teyit etmekteydi. (Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ)
Bal Peteğinin İdeal Mimarisi
Bilim adamları ve matematikçiler yaptıkları araştırmalar sonucu en verimli depolama şeklinin altıgene uygun olduğunu ispatlamışlardır. Maksimum kullanımı esas alan bu konumlanmaya çıta kenarlarından başlayan arılar ortada kusursuz altıgenlerle petekleri tamamlarlar. Bu müthiş matematik düzeni diğer geometrik şekiller ile mümkün olmamaktadır. Daire, beşgen ve sekizgen gibi şekillerde muhakkak boşluk kalacaktır. Kare ve üçgende ise, aynı hacmi doldurmak için gereken duvar çevresi daha fazla olacağından en az malzeme ile bir alanı optimum şekilde bölmek için altıgen en ideal olan şekil tipidir.
Bunun yanı sıra; her bir altıgenin derinliği 3 santimetre, duvar kalınlığı ise milimetrenin yüzde beşi kadardır. Bu kadar ince iş isteyen bal üretimi arılar için oldukça kolaydır.
Belli bir alanı çevrelemek için kullanacağınız geometrik şekiller içerisinde dairenin çevre uzunluğu diğer şekillere nazaran daha kısadır. Örneğin; alanı 100 milimetre kare olan bir alana sahip üçgen ile bir daireyi kıyaslarsak, dairenin çevre uzunluğu daha kısadır. O halde bu alanı çevrelemek için balmumu kullanıyorsak, dairenin çevresi için daha az balmumu kullanabiliriz. Ancak belirli bir alanı küçük parçalara bölerek kaplamak istiyorsak daire bu iş için pekde uygun bir şekil olmayacaktır. Şekilde de görüldüğü üzere dairelerin aralarında boşluklar oluşmaktadır. Buda daha fazla balmumu sarfiyatına sebep olur. O halde bir alanı daha küçük bölgelere ayırmak için çokgenlere ihtiyacımız var. Çokgenlerimizin çevre uzunluğunu en aza indirmek istediğimize göre düzgün çokgenler kullanmalıyız. (Düzgün çokgen bütün kenar uzunlukları ve iç açıları birbirine eşit olan çokgendir.) Çünkü; düzgün çokgenler düzgün olmayanlara göre daha kısa kenar uzunluğuna sahiptir. Şekilde görüldüğü üzere alanları 36 br kare olan dikdörtgen ve kareyi kıyasladığımızda karenin kenar uzunlukları daha kısa kalmaktadır. Alanımızı kaplamak için düzgün çokgene ihtiyacımız olduğunu anladık; peki bunlar içinden hangileri kullanılabilir. Düzgün çokgenleri bir araya getirip alanımızı kaplamak istiyorsak çokgenler köşe noktalarından birleştirildiğinde açıkta alan kalmamalıdır. Bunun için kullandığımız çokgenin bir iç açısı 360 derecenin bir tam böleni olması gerekir. Örneğin bir beşgen ile altıgeni kıyaslarsak; Şekilde görüldüğü gibi beşgenler arasında boşluklar oluşmaktadır. Demek ki beşgen gibi bir iç açısı 360 derecenin tam böleni olmayan çokgenler bu iş için uygun değil. Bir iç açısı 360 derecenin tam böleni olan çokgenlerimiz üçgen, dörtgen ve altıgendir. Bunlar içinde aynı büyüklükte alanı çevrelemek açısından bakıldığında, altıgenin çevre uzunluğu daha kısa kalır. O halde altıgen, daha az balmumu kullanarak bir alanı çevreleyebileceğimiz en uygun geometrik şekildir. Not: Arılar,bal peteğinin altıgen prizma şeklindeki tüplerini yere yaklaşık 130 derecelik bir açıyla yerleştirirler ki; tüpe doldurdukları bal dökülmesin.
Binlerce farklı arı hep eşit boyda petekler üretirler. Yavru bakımından petek inşasına, besin bulmadan bal üretimine kadar her işi başarırlar. Bu sebepten dolayı bal ve bal mumu bizler için çok kıymetlidir. | 
