TANIM : f A kümesinden B kümesine bir bağıntı olsun. f bağıntısında

A nın istisnasız her elemanı B nin en fazla ve en az bir elemanı ile eşleşiyorsa f bağıntısına fonksiyon denir ve

şeklinde gösterilir.

A kümesine tanım kümesi,

B kümesine görüntü kümesi denir.

Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller,

görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler denir.

Bu yeni terimleri kullanarak fonksiyon olma şartını yeniden yazalım :

A'nın her orjinalinin B içinde en az ve en fazla bir tane görüntüsü olacaktır.

ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan hangileri A= { 1, 2 , 3 } kümesinden

B = { a, b , c , d } ye fonksiyondur?

1.         Β1 = {(1, b), (2, a) }

2.       Β2 = {(3,b), (1,c), (2,b) }

3.       Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }

4.        Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }

ÇÖZÜM :

1.      Β1 = {(1, b), (2, a) }

A kümesindeki 3' orjinalinin B içinde bir görüntüsü yoktur.

Β1 fonksiyon değildir.

2.     Β2 = { (3, b), (1,c), (2,b) }

A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

Β2 fonksiyondur.

3.     Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }

A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

Β3 fonksiyondur. Görüntüler eşit olabilir.

4.     Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }

A kümesindeki her orijinalin B içinde yalnız bir tane görüntüsü olacak. Burada 1 orijinali iki tane farklı görüntüye sahiptir.

Β4 fonksiyon değildir.

ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.

1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve en az bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en az bir tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

3. Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en az bir tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı fonksiyondur.

UNUTMAYIN : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.

4. Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı için her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki ücret vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir tane ücreti vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.

Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.

ÖRNEK : f : A = {1, 2, 3 }  B

                       f(x) = 2x + 3

fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım:

Burada tanım kümesinin elemanları ( orijinaller ) verilmiş fakat görüntüler verilmemiştir.

Fonksiyonun kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.

1 in görüntüsü   f(1) = 2.1 + 3 = 5

2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7

3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9

f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.

ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim:

1.      Tanım kümesi nedir?

2.     Görüntü kümesi nedir?

3.     f(2) = ?

4.     f(-3) = ?

5.     f(5) = ?

ÇÖZÜM :

1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir.

A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 }

2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir.

B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }

3. f(2) = ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir"

2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki sayıdır. f(2) = -1

4. f(-3) = ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir"

-3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki sayıdır. f(-3) = 9

5. f(5) = ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir"

5 'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır.

Sıralı ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak yer almamıştır. Yani bu fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır.

5 in görüntüsü yoktur.

f : A  B

f(x) = x

f fonksiyonuna birim fonksiyon denir .

Yani her elemanın görüntüsü kendisine eşittir .

Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.

ÖRNEK :

Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan

 I : A A

fonksiyonu birim fonksiyondur

Çünkü : I(x) = x olur.

I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .

ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı çekersek sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.

f : A  B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon denir ve her x є A için f (x) = b şeklinde gösterilir.

ÖRNEK :

Bu fonksiyonu A = {1, 2, 3} olmak üzere

f : A  B   A 'nın tüm elemanları B ={3} elemanına gönderildiği için, fonksiyonu sabit fonksiyondur.

ÖRNEK: Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.

TANIM:

A dan B ye bir f  fonksiyonu tanımlanmış olsun A kümesinin birbirinden farklı her x1 ve x2 elemanları için;  f(x1)f (x2) ise f fonksiyonuna, bire bir fonksiyon denir. Yani A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f  fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Kısacası

x1 ,x2 A için, x1  x2  f(x1)  f(x2) ya da f(x)1 = f(x2)  x1 = x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.

f : A  B fonksiyonunda orijinallere ait görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt kümesi oluyorsa f  içine fonksiyondur .

ÖRNEK:

Şemada tanım kümesi A = { a , b , c } ve görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür.

Orijinallerin görüntülerinden oluşan görüntü kümesi f (A) = { 1, 2 } dir.

{ 1, 2 } C { 1, 2, 3, 4 }  olur. f (A) kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon içinedir.

Yani B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur.

f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun. B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f^-1 şeklinde gösterilir.

f: A B  f^-1 : B A

f: x y = f (x)   f^-1 : y x = f^-1(y)

ÖRNEKLER:

1. f: R R, f (x) = x + 5 ise f^-1(x)  nedir?

2. R⁺ R ye f (x) = x² + 2  fonksiyonunun tersini bulunuz (x > 0)

f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.

ÖZELLİKLERİ:

• fog gof
• (fog)oh = fo(goh
• fof^-1 = f^-1 of = I ( I birim fonksiyon)
• foI = Iof = f
• (f^-1)^-1 = f
• (fog)^-1 = g^-1of^-1
• (fogoh)^-1 = h^-1 o g^-1 o f^-1
• fog = h  f = hog^-1 ve g = f^-1 o h

ÖRNEKLER:

1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir?

Çözüm:

(gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 )= g(- 3) = - 3  + 1 = - 2

2. f ve g : R R’ye

    f (x) = 3x + 2 ve g(x) =  ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun.

Çözüm:

3. f ve g : R R’ye

   f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir?

Çözüm:

(gof of^-1)(x) = (3x + 2) of^-1

          g (x) = (3x + 2) of^-1

f (x)  = 2x + 1  f^-1 (x) =  dir.

4. f ve g : R R’ye f (x) = ve  (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) = ?

Çözüm:

(f^-1o fog)(x) = f^-1 o (6x + 1)

g (x) = f^-1 o(6x + 1)

f (x) =

g (x) = (3x + 1) o (6x + 1)

g (x) = 3. (6x + 1) + 1 =  18x + 4

5. f ve g : R R’ye

   (gof^-1) (x) =  ve g^-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir?

Çözüm:

(g^-1ogof)(x) = g^-1 o

1- f A dan B ye bir fonksiyon, x  x2  fonksiyonunun bire bir midir?

Cevap :

f(-2) = (-2)2 = 4

f(2) =22 = 4 olduğundan, -2  2  f(-2) = f(2) olur yani verilen fonksiyon bire bir değildir.

2-    A ={ -1, 0,1 } ve b={ 0,1 }kümeleri için f A dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2 fonksiyonunun örten olmadığını araştırınız.

Cevap :

f(-1) = 1

f(0) = 0       f(A) = {0,1}  dır.

f(1) =1    

f(A) = B olduğundan f örtendir.

3-    A = {-1, 0,1,2,3} ve B  = {0,1,2,34,5,10} kümeleri veriliyor. f(x) = x2 + 1 fonksiyonu örten bir fonksiyon mudur? ( f; A dan B ye bir fonksiyon)

Cevap :

f(-1) = (-1)2 + 1 = 2

f(0) = 02 +1 = 1

f(1) = 12 + 1 = 2

f(2) = 22 + 1 = 5

f(3) = 32 + 1 = 10

f(A) = { 1,2,5,10}  B olduğundan, f içine fonksiyondur.

4) f : R          [2 +  ]  f(x) = x2 + 2   bire bir ve örten midir?    x  0

Cevap :

f(0) = 02 +2 = 2     Örtendir                -1  1

x1   x2  için f(x1)   f(x2)                   f(-1) = f(1)

f(-1) = (-1)2 + 2 = 3

f(1) = 12 +2 = 3     Birebir değil

5)  f : R        R  f(x) = ( a-2 ) . x2 + ( b+3 )x + 7 sabit fonksiyon ise a - b +f(x)=?

Cevap :

f(x) = c olduğundan

f(x) = ( a - 2 ) . x2 + ( b + 3 ) . x +7

0        0

a-2 = 0                 b+3 = 0

a = 2                    b = -3

f(x) = 7       a + b + f(x) = 2+3+7 = 12

6)  f :R       R ,  f(x) = x3 - 4x +2 olduğuna göre f-1(2) nedir?

Cevap :

f ^-1(2) = x  f(x) = 2

x3 - 4x +2 = 2

x3 - 4x = 0

x( x2 - 4 ) = 0

x = 0,  x = 2,  x = -2

f ^-1(2) = { -2, 0 ,2 } bulunur.

7) f : R-{-1}         R, f(x) = x2 - 3x + 2 olduğuna göre, f ^-1(6) nedir?

Cevap :

f  ^-1(6) = x  f(x) = 6

 x2 -3x + 2 = 6

 x2 -3x -4 = 0

 ( x-4 ) (x + 1 ) = 0

 x = 4, x = -1

 x = -1 sayısı tanım kümesinin elemanı olmadığı için   f ^-1(6) = 4