Denklemler, Önerme ve Açık Önermeler
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler
a 0 olmak üzere ax +b=0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x sayısına denklemin kökü, bu kökün oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir.
ax+b=0 ise sayısı denklemin köküdür.
Çözüm kümesi:
Ç= olur.
Örnekler:
1) 6x +12 =0 denkemini çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
6x= -12Þ6x+12=0
x= x=-2 Ç= olur.
2)-5x + 6 + x = 1 –x + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
-5x+ 6+ x =1 –x +8
-4x + 6 = -x + 9
-4x +x = 9-6
-3x=3
x= -1 Ç=
4) x-{2x-[x+1-(3x-5)]} = 3 ise x kaçtır?
Çözüm:
[x+1-3x+5]
[-2x+6]
{2x+2x-6}
x-4x+6 = 3
-3x x= 1 Sonuç: 1à=
5) 9(1-2x) – 5(2-5x) = 20 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
9(1-2x) – 5(2-5x) = 20
9-18x-10+25x = 20
7x-1= 20
7x = 21
x = 3
Sonuç: 3
6) x 2 x 1
----- + ----- = ----- + 1----- denkleminin çözüm kümesi nedir?
3 5 5 3
Çözüm:
x 2 x 4
----- + ----- = ----- + -----
3 5 5 3
(5) (3) (3) (5)
5x+6 3x+20
------- = ------- = 5x + 6 = 3x+20
15 15
x = 7Þ2x = 14 Sonuç: 7
8) 2x+5=1 ise “x” kaçtır?
Çözüm:
2x = -4
Sonuç = {-2}Þx = -2
9) Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı, aynı sayının 4 katıyla toplamına eşittir.Bu Sayıların Küçük Olanı Kaçtır?
Çözüm:
3x+4x = 77
7x = 77
x = 7
3x = 33 Sonuç = {33}
10) Bu denklemdeki x’ in değerini bulunuz.
Çözüm:
x = 5 Sonuç = {5}
11) “x” in değerini bulunuz.
Çözüm:
- 45 = 5x-35
5x = -10
x = -2
Sonuç = {-2}
12) “x” in değerini bulunuz.
Çözüm:
3x-5 = -20
3x = -15
x = -5 Sonuç = {-5}
13) denklemini ve koşuluyla x’i bulunuz.
Çözüm
ÞÞÞ
x=-1 fakat (x 1 ve x koşulundan dolayı
Ç=Ǿdir
14) için x ’in değeri kaçtır?
Çözüm
x=3 (x 3 koşulundan dolayıÞÞÞ )
Ç=Ǿdir
Birinci Dereceden İki
Bilinmeyenli Denklemler
olmak üzere açık önermesine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
denkleminde x ’e verilebilecek her değer için bir y değeri bulunabilir. Bulunan (x,y) ikililerinden her birine denklemin bir çözümü denir. Çözüm kümesi sonsuz elamanlıdır.
Örnekler:
1) denklemini çözüm kümesini bulup düzlemde göster.
(0,-1)Þx=0 için y=2.0-1
x=1 için (1,1)Þy=2.1-1
(2,3)Þx=2 için y=2.2-1
(3,5)Þx=3 için y=2.3-1
x için (y 2x –1)Þy=2x-1
Önerme
Mantıkta, öne sürülen bir ifadenin, değeri ya doğru ya da yanlış olmak zorunda olan içeriğine önerme denir. Kesin olan cümleler yanlış veya doğru da olsa önermedir. Önerme arasına bir cümlede kesinlikle soru ekleri (mi?, mı?) olmaz.
Örnekler:
- 2 < 3 (Doğru bir önerme).
- Türkiye'nin başkenti Ankara'dır. (Doğru bir önerme)
- 7 = 8 (Yanlış bir önerme).
- İstanbul Amerika'nın başkenti midir?(önerme değildir)
- 78=79 (bu önerme yanlış bir önermedir)
- 3
Tanımdan anlaşılacağı gibi, aynı önerme olmaları için ifadelerin aynı şekilde dile getirilmesi gerekmez. Aşağıdaki önermelerin hepsi aynı önermedir ve değerleri aynıdır (hepsi doğrudur).
- İki kere iki dört eder.
- 2x2=4
- 2'yi 2 ile çarpınca sonuç 4 çıkar.
Totoloji ve çelişki olmak üzere ikiye ayrılırlar.
Açık önerme
Açık önerme, doğruluk değeri değişkenlere bağlı olarak değişen önermelerdir.
Örneğin:
x) ≡ x < 3 (Önerme tek değişkenli bir açık önermedir, x in tanım kümesi Doğal Sayılar olması durumunda; x = 1 ve x = 2 değerleri icin P(1) in ve P(2) nin değeri doğru diğer x değerleri için yanlıştır)
Q(x,y) ≡ x + 2 = y (İki değişkenli açık önerme, y lerin x ten farkı iki oldugu her x,y değeri için Q(x,y) doğru önermedir) | 
