Denklem Çeşitleri ve Özellikleri

Denklem Nedir - Denklem Çeşitleri - Denklem Teorisi - Denklem Örnekleri

Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır. Araya (=) işareti konularak ifade edilir. Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir.

(x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² – 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir. x² – 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır. Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur.

Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir. Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir.

Yüzey denklemi
Üç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir.

Eğri denklemi
Eğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir. İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir:
y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1
birer eğri denklemidir.

Cebirsel denklem
Terimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir.

Denklem sistemi
Ortak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu.

Lineer denklem
Değişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem. Mesela:
3x + y = 5, 8x + 9 =3
gibi.

Logaritmik denklem
Bilinmeyenlerin logaritmik fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir.
log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi.

Transandant denklem
Cebirsel olmayan denklemlerdir. Logaritmik, üstel, trigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir.(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe’si “AŞKIN” olarak çevirilmiş. Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır. Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir. Aşkın Sayılar)

Denklemler teorisi f(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 = 0
çok terimli denklemleriyle ilgilenir. Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir.

Çarpan teoremi
Eğer (n’inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere:
f(x) = (x-a)·g(x)
yazılabilir.
Kök sayısı
Bir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır.
Katlı kök
Eğer:
f(x)=(x-a)k·g(x)
yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür.

Mesela:
x³ + x² – 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0
denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür.

Karmaşık kök
Eğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a – ib de diğer bir köktür.

Gerçel kökün yeri
Eğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır.

Mesela
f(x) = x5 – x – 1 = 0
da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır.

İkinci derece denklem
x² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur.

Bu kökler gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin Negatif olmaması gerekir. Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar. Negatif ise gerçek kök yoktur.